Компьютерное моделирование в системе Mathcad, Охорзин В.А., ... Рассматриваются методы математического моделирования статических и динамических систем, систем массового обслуживания, планирования эксперимента и идентификации моделей... (1202)

Компьютерное моделирование в системе Mathcad, Охорзин В.А., 2006.

Рассматриваются методы математического моделирования статических и динамических систем, систем массового обслуживания, планирования эксперимента и идентификации моделей. Теоретическое изложение сопровождается многочисленными примерами и программами в системе Mathcad. Для студентов высших учебных заведений всех форм обучения по специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления» в рамках направления «Информатика и вычислительная техника», а также для студентов других инженерных специальностей.

Адекватность математической модели.

В данном разделе будет рассмотрен вопрос о соответствии математической модели объективной реальности. Несоответствие может быть вызвано двумя причинами: или сама функция f(х) не соответствует реальности, или случайные факторы исказили результаты экспериментов, вследствие чего коэффициенты в модели определены с ошибками, что сказывается на точности моделирования.

Пусть по данным N экспериментов определяется модель с т параметрами. Если N = m, то имеем задачу интерполяции, в которой модель проходит точно через экспериментальные точки, однако мы не располагаем ни одним дополнительным измерением для того, чтобы оценить адекватность модели. Если N > m, то данные N - m экспериментов (число степенен свободы) можно использовать для оценки адекватности модели при помощи остаточной дисперсии:

Эта величина может быть признана неудовлетворительной, что приводит к необходимости либо увеличить число экспериментов (увеличив тем самым величину знаменателя), либо уменьшить числитель, взяв другую функцию f, введя, например, поправочный член. Для того чтобы выбрать решение, необходимо оценить, чем вызвана неадекватность модели - плохой функцией f или ошибками в измерениях.

Рассмотрим случай, когда с ошибками измеряется выходная величина у. Пусть ошибки измерений е подчиняются нормальному закону с нулевым математическим ожиданием Me = 0 (систематической ошибки нет) и дисперсией σ2y. В этом случае необходимо проверить гипотезу о том, что ошибки моделирования с дисперсией S и измерений σ2y взяты из одной выборки, тогда различия между этими величинами несущественны. Этот вопрос может быть разрешен с помощью отношения Фишера F = S/σ2y. Если F > FT(р,n,m), где р - уровень доверительной вероятности, n - число степеней свободы для большей дисперсии S, m - число степеней свободы (обычно равное бесконечности) для σ2y, то данная гипотеза должна быть отвергнута, и ошибку моделирования можно уменьшить за счет изменения функции модели. В противном случае ошибка моделирования с вероятностью Р может быть обусловлена ошибками измерений, и никакого улучшения моделирования за счет функции/ добиться не удастся. Тогда нужно улучшать условия эксперимента. Табличное значение критерия Фишера FT(р,n,m) можно найти в литературе по статистике. В Mathcad значение критерия вычисляется с помощью встроенной функции pF.

Оглавление

Предисловие

Введение

Глава 1. Статические модели

1.1.Ошибки моделирования

1.2.Построение модели по экспериментальным данным. Задача интерполяции

1.3.Сплайн-интерполяция

1.4.Аппроксимация функций

1.5.Адекватность математической модели

1.6.Планирование эксперимента

1.7.Полный факторный эксперимент

1.8.D-оптимальные планы

Выводы

Упражнения

Глава 2. Динамические модели

2.1.Формулировка теоремы о существовании и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

2.2.Линеаризация в окрестности рабочего режима

2.3.Формула Коши. Свободное и вынужденное движения

2.4.Определение матрицы перехода

Выводы

Упражнения

Глава 3. Идентификации параметров динамических систем

3.1.Условия идентифицируемости

3.2.Определение параметров линейной системы во временной области

3.3.Идентификация в пространстве преобразований

3.4.Параметрическая идентификация

Выводы

Упражнения

Глава 4. Уравнения в частных производных

4.1.Типы уравнений и их конечно-разностная аппроксимация

4.2.Гиперболическое уравнение

4.3.Параболическое уравнение

4.4.Эллиптическое уравнение

Выводы

Упражнения

Глава 5. Системы массового обслуживания

5.1.Модели потоков событий

5.2.Понятие о марковских процессах

5.3.Уравнения Колмогорова

5.4.Одноканальная СМО с отказами

5.5.Многоканальная СМО с отказами

5.6.Многоканальная СМО с очередью

Выводы

Упражнения

Заключение

Библиографический список.